5.3 统计套利

概念详解

统计套利（Statistical Arbitrage，简称Stat Arb）是一类基于统计模型和均值回归假设的交易策略。与传统的无风险套利不同，统计套利不保证每次交易都盈利，而是在大量交易中依赖概率优势获利。

统计套利的三大支柱：

协整关系：两个或多个资产价格之间存在长期均衡关系
均值回归：价差偏离均衡水平后会回归
统计显著性：偏离达到一定阈值才触发交易

名词解释：配对交易

寻找两只历史价格高度相关的股票，当价差偏离均值时做多弱势股、做空强势股，押注价差回归。这是统计套利最简单的形式：找到一对"长相相似"的股票，计算它们的价差 = Price_A - hedge_ratio × Price_B，当价差偏离其历史均值超过阈值时开仓，回归均值时平仓。

名词解释：协整

两个或多个非平稳时间序列的线性组合是平稳的，则它们之间存在协整关系。协整是配对交易的数学基础——单纯的价格相关性高不等于可配对交易（可能只是伪回归），只有协整关系才能确保价差具有均值回归特性。

名词解释：对冲比率

做多1单位股票A的同时做空h单位的股票B，使得组合价值对B的波动免疫。对冲比率通常通过回归 $P_{A} = α + h \cdot P_{B} + ϵ$ 来估计，其中 $h$ 即为对冲比率。

统计套利的演化

阶段	类型	描述
第一代	配对交易	两只股票的价差回归
第二代	篮子交易	一篮子股票 vs 另一篮子或指数
第三代	统计因子套利	对因子残差做均值回归
第四代	高频统计套利	毫秒级的微观结构套利

数学原理

协整检验（Engle-Granger两步法）

Step 1: 用OLS估计长期均衡关系： $y_{t} = α + β x_{t} + ϵ_{t}$

Step 2: 检验残差 ${\hat{ϵ}}_{t}$ 是否平稳（ADF检验）：

Δ {\hat{ϵ}}_{t} = γ {\hat{ϵ}}_{t - 1} + \sum_{i = 1}^{p} δ_{i} Δ {\hat{ϵ}}_{t - i} + u_{t}

H_{0} : γ = 0 (无协整关系)

价差信号生成

对冲比率 $β$ 通过回归 $P_{A} = α + β P_{B} + ϵ$ 估计。价差定义为：

s p r e a d_{t} = P_{A, t} - \hat{β} \cdot P_{B, t}

Z-score标准化：

z_{t} = \frac{s p r e a d_{t} - μ_{s p r e a d}}{σ_{s p r e a d}}

交易信号：当 $| z_{t} | > t h r e s h o l d$ 时入场，当 $| z_{t} | < e x i t_t h r e s h o l d$ 或 $sign (z_{t})$ 反转时平仓。

半衰期估计

价差均值回归的半衰期衡量偏离后回到一半距离所需的时间：

s p r e a d_{t} - μ = θ \cdot (s p r e a d_{t - 1} - μ) + η_{t}

H a l f L i f e = - \frac{\ln (2)}{\ln (θ)}

半衰期越短，回归速度越快，套利机会越频繁。如果半衰期过长（如超过一个季度），价差的回归可能更多是统计假象。

Python实战

📌 案例：价差信号

PYTHON3 行 · 141 B

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python

spread = df['stock1'] - hedge_ratio * df['stock2']
zscore = (spread - spread.mean()) / spread.std()
df['position'] = -zscore  # 均值回归

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对冲比率: 0.905
最新价差 z-score: 1.18
信号: 不交易（价差在正常范围）

📌 案例：完整的配对交易框架

PYTHON85 行 · 3.1 KB

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python

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint

class PairsTrader:
    def __init__(self, lookback=60, entry_z=2.0, exit_z=0.5, min_half_life=1, max_half_life=30):
        """
        Parameters:
            lookback: 用于估计对冲比率和价差统计的回看窗口
            entry_z: 入场Z-score阈值
            exit_z: 出场Z-score阈值
            min_half_life: 可接受的最短半衰期（天）
            max_half_life: 可接受的最长半衰期（天）
        """
        self.lookback = lookback
        self.entry_z = entry_z
        self.exit_z = exit_z
        self.min_half_life = min_half_life
        self.max_half_life = max_half_life

    def estimate_hedge_ratio(self, price_a, price_b):
        """用滚动窗口回归估计对冲比率"""
        y = price_a.values
        X = np.column_stack([np.ones(len(price_b)), price_b.values])
        beta = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
        return beta[0], beta[1]  # intercept, hedge_ratio

    def compute_half_life(self, spread):
        """估计价差的均值回归半衰期"""
        spread_lag = spread.shift(1)
        spread_diff = spread - spread_lag
        spread_lag = spread_lag.dropna()
        spread_diff = spread_diff.dropna()

        # OLS: spread_t - spread_{t-1} = gamma * spread_{t-1} + const
        X = np.column_stack([np.ones(len(spread_lag)), spread_lag.values])
        y = spread_diff.values

        if len(X) < 10:
            return np.inf

        beta = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
        theta = beta[1] + 1  # AR(1)系数

        if theta <= 0:
            return np.inf

        half_life = -np.log(2) / np.log(theta)
        return min(half_life, 1e6)  # 防止无穷大

    def generate_signals(self, price_a, price_b):
        """生成配对交易信号"""
        # 滚动估计
        alpha, hedge_ratio = self.estimate_hedge_ratio(
            price_a.iloc[:self.lookback], price_b.iloc[:self.lookback]
        )

        # 计算全期价差
        spread = price_a - hedge_ratio * price_b

        # 检查协整性
        _, p_value, _ = coint(price_a, price_b)
        if p_value > 0.05:
            return pd.Series(0, index=price_a.index), {'coint_pvalue': p_value}

        # 检查半衰期
        spread_hist = spread.iloc[:self.lookback]
        half_life = self.compute_half_life(spread_hist)
        if half_life < self.min_half_life or half_life > self.max_half_life:
            return pd.Series(0, index=price_a.index), {'half_life': half_life}

        # 计算滚动Z-score
        rolling_mean = spread.rolling(self.lookback).mean()
        rolling_std = spread.rolling(self.lookback).std()
        zscore = (spread - rolling_mean) / rolling_std

        # 生成信号：均值回归方向
        signals = pd.Series(0, index=price_a.index)
        signals[zscore < -self.entry_z] = 1   # 价差过低，做多spread
        signals[zscore > self.entry_z] = -1   # 价差过高，做空spread

        # 出场信号：Z-score回到阈值内
        signals[abs(zscore) < self.exit_z] = 0

        return signals, {'coint_pvalue': p_value, 'half_life': half_life}

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📘 本段代码定义了 1 个函数/类：类 `PairsTrader`。该片段为教学展示（未包含独立运行的输入数据），可在实战练习中结合真实数据调用。

📌 案例：多配对筛选

PYTHON51 行 · 1.8 KB

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python

def pairs_screening(price_df, n_top=10):
    """
    从股票池中筛选最优的交易对

    步骤：
    1. 计算所有配对的相关性和协整p值
    2. 筛选协整显著且半衰期合理的配对
    3. 按夏普比率排序，选择前N对
    """
    stocks = price_df.columns
    pairs_results = []

    for i, stock_a in enumerate(stocks):
        for stock_b in stocks[i+1:]:
            pa = price_df[stock_a].dropna()
            pb = price_df[stock_b].dropna()

            # 对齐时间
            common_idx = pa.index.intersection(pb.index)
            if len(common_idx) < 252:  # 至少一年数据
                continue

            pa = pa[common_idx]
            pb = pb[common_idx]

            # 相关性
            corr = pa.pct_change().corr(pb.pct_change())

            # 协整检验
            _, p_value, _ = coint(pa, pb)

            # 如果通过初筛，做完整的回测
            if p_value < 0.1 and corr > 0.6:
                trader = PairsTrader()
                signals, info = trader.generate_signals(pa, pb)

                if info['half_life'] < 60:  # 半衰期在合理范围
                    rets_a = pa.pct_change()
                    rets_b = pb.pct_change()
                    spread_rets = signals.shift(1) * (rets_a - info.get('hedge_ratio', 1) * rets_b)
                    sharpe = spread_rets.mean() / spread_rets.std() * np.sqrt(252)

                    pairs_results.append({
                        'stock_a': stock_a, 'stock_b': stock_b,
                        'correlation': corr,
                        'coint_pvalue': p_value,
                        'half_life': info['half_life'],
                        'sharpe': sharpe
                    })

    return pd.DataFrame(pairs_results).sort_values('sharpe', ascending=False).head(n_top)

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📘 本段代码定义了 1 个函数/类：函数 `pairs_screening`（从股票池中筛选最优的交易对）。该片段为教学展示（未包含独立运行的输入数据），可在实战练习中结合真实数据调用。

常见误区

高相关性不等于协整：两只股票可能有0.95的高相关性（都跟随大盘），但它们的价差可能一直在扩大（没有均值回归）。协整才是配对交易的数学基础。
参数稳定性问题：对冲比率、价差的均值和标准差都可能随时间变化。用历史数据估计的参数在样本外可能已经失效。需要定期（如每月）重新估计。
忽略结构变化：并购、分拆、商业模式变化等结构性事件可能永久性地改变配对关系。以往高度协整的配对在事件后可能不再均值回归——这意味着策略可能变得单向亏损。
半衰期过长：价差回归半衰期如果超过30天，期间的持仓成本和心理压力会极大。而且半衰期越长，它越可能只是一个统计假象而非真正的经济联系。
忽略做空限制：配对交易通常需要做空一只股票。在A股市场，融券做空成本高、券源有限。如果不能做空，只能做"配对轮动"（超配低估的、低配高估的），而非纯多空配对。

实战练习

选择同一行业的两只股票（如贵州茅台和五粮液），执行完整的配对交易流程：
- 进行协整检验
- 估计对冲比率和半衰期
- 实现Z-score交易策略
- 回测过去3年的表现
滚动参数 vs 固定参数：分别用固定回看窗口（全样本估计一次参数）和滚动窗口（每季度重新估计参数）回测，对比两种方法的收益和稳定性差异。
研究半衰期的时变性：用滚动2年窗口每季度估计一次半衰期，绘制半衰期的时间序列。观察半衰期是否稳定，讨论不稳定的原因。

本章要点

统计套利基于协整关系和均值回归假设，通过做多低估资产、做空高估资产来获取价差回归的收益。
协整是配对交易的数学基础——两个非平稳价格序列的线性组合是平稳的，意味着价差具有均值回归性质。
对冲比率通过回归 $P_{A} = α + β P_{B} + ϵ$ 估计，它决定了多空仓位的比例，确保组合对标的资产价格方向免疫。
半衰期衡量价差回归的速度，半衰期过长（>30天）意味着回归可能不可靠，过短（<1天）几乎不可交易。
统计套利的风险：结构变化导致协整关系破裂、参数不稳定、做空限制、流动性风险。
交易信号的核心是Z-score：入场阈通常设在±1.5到±2.5之间，出场设在±0.5或均值附近。

5.3 统计套利 ​

概念详解 ​

统计套利的演化 ​

数学原理 ​

协整检验（Engle-Granger两步法） ​

价差信号生成 ​

半衰期估计 ​

Python实战 ​

📌 案例：价差信号 ​

📌 案例：完整的配对交易框架 ​

📌 案例：多配对筛选 ​

常见误区 ​

实战练习 ​

延伸阅读 ​

本章要点 ​

5.3 统计套利

概念详解

统计套利的演化

数学原理

协整检验（Engle-Granger两步法）

价差信号生成

半衰期估计

Python实战

📌 案例：价差信号

📌 案例：完整的配对交易框架

📌 案例：多配对筛选

常见误区

实战练习

延伸阅读

本章要点